BERBAGAI PERSAMAAN KURVA POLAR

BERBAGAI PERSAMAAN KURVA POLAR.

.

Ivan Taniputera.

9 November 2017.

.

  1. CISOID

.

Persamaan cisoid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 1/cos(a) – cos(a)

r(a) = sec(a) – cos(a)

.

Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

 
 

.

2.STROFOID

.

Persamaannya strofoid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 1/cos(a) – kcos(a)

r(a) = sec(a) – kcos(a).

.

Dengan k > 1.

.

Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

 
 

3. KARDIOID

.

Persamaan kardioid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 2pcos(a)+2q

Dengan p dan q adalah konstanta.

.

Gambarnya adalah sebagai berikut:

.

 
Advertisements

BULAN SIDEREAL DAN SINODIK

BULAN SIDEREAL DAN SINODIK.

.

Ivan Taniputera.

18 Agustus 2017.

.

Artikel kali ini akan membahas mengenai apa yang dimaksud dengan bulan sidereal dan bulan sinodik.

.

Bulan Sidereal adalah waktu yang diperlukan oleh bulan berputar mengitari bumi dalam satu lingkaran penuh atau 360 derajat. Sedangkan bulan bulan sinodik adalah waktu yang diperlulan dari satu bulan baru ke bulan baru berikutnya. Keduanya tidaklah memiliki rentang waktu yang sama. Mengapa demikian? Jika kita mengambil kedudukan saat suatu bulan baru sebagai acuan, maka saat bulan sudah mengitari bumi dalam satu lingkaran penuh, bumi, bulan, dan matahari belumlah terletak segaris. Padahal letak segaris itu merupakan syarat bagi bulan baru. Itulah sebabnya, bulan harus bergerak sedikit lagi agar letaknya menjadi segaris dengan bumi beserta matahari dan bulan baru terjadi kembali. Dengan demikian, bulan sinodis lebih lama dibandingkan bulan sidereal. Agar jelasnya silakan perhatikan gambar sebagai berikut.

.

 
 

.

Lama bulan sidereal adalah 27 hari, 7 jam, dan 43 menit atau 27, 32166 hari.

Lama bulan sinodik adalah 29 hari, 12 jam, dan 44 menit atau 29, 53059 hari.

Itulah sebabnya, bulan baru terjadi setiap kurang lebih 29,5 hari.

.

Oleh karenanya kita dapat menghitung bahwa bulan bergerak 360 derajat:27,32166 setiap harinya atau 13,176 derajat.

.

Dengan demikian, kita sudah mengenal mengenai bulan sidereal dan sinodik.

MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30

MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30.

.

Ivan Taniputera.

15 Agustus 2017.

.

Saya baru saja mendapatkan teka teki matematika sebagai berikut.

.

 
 

.

Teka-teki tersebut jika dituangkan dengan kata-kata kurang lebih bunyinya adalah sebagai berikut. Kita diberikan delapan bola biliar masing-masing berangka: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan 15. Selanjutnya, kita diminta memilih tiga bola yang yang angkanya berjumlah 30.

.

Jika kita menggunakan cara berpikir konvensional, tentu tidak akan ketemu. Beberapa orang, mungkin akan mencoba solusi sebagai berikut.

  1. Misalkan salah satu bola adalah 15; maka kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 15. Jadi, misalkan bola yang satu adalah 13, maka satunya harus berangka 2, yang ternyata tidak ada. Misalkan satunya bola berangka 11, maka satunya harus berangka 14, yang ternyata juga tidak ada. Misalkan bola yang satu berangka 9, maka bola satunya harus berjumlah 6; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 7, maka bola satunya harus berangka 8; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 5, maka bola satunya lagi harus berangka 10, yang ternyata juga tidak ada. Selanjutnya, bila bola yang satu berangka 3, maka yang satunya lagi harus berangka 12; yang ternyata juga tidak ada. Apabila bola yang satu berangka 1, maka satunya lagi harus berangka 14; yang ternyata tidak ada. Kesimpulannya, bola berangka 15 sudah pasti bukan jawabannya.
  2. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 13. Apabila salah satu bola berangka 13, maka kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 17. Bila salah satu 15, maka satunya harus 2 (tidak ada). Kita dapat merumuskan kemungkinannya sebagai berikut.

11-6 (tidak ada)

9-8 (tidak ada)

7-10 (tidak ada)

5-12 (tidak ada)

3-14 (tidak ada)

1-16 (tidak ada).

.

3. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 11 dan seterusnya.

Ternyata kita tidak menemukan angka-angka yang sesuai.

Biasanya orang akan kebingungan. Lalu apakah jawabannya?

Seperti yang telah diungkapkan di atas, bila kita menerapkan cara berpikir konvensional, maka jawabannya tidak akan kita temukan.

Jawabannya sangat sederhana. BALIKLAH BOLA BERANGKA 9, SEHINGGA ANDA MENDAPATKAN BOLA BERANGKA 6. Jadi bola yang berangka 9 itu seharusnya berangka 6.

.

Dengan demikian, jawabannya adalah bola berangka 6, 11, dan 13. Untuk jelasnya silakan amati gambar sebagai berikut.

.

 
 

BUKTI POSTULAT EUCLIDES

BUKTI POSTULAT EUCLIDES

.

Ivan Taniputera.

4 Agustus 2017.

.

Euclides menyatakan dalam postulatnya, bahwa di antara dua titik hanya dapat dibuat satu garis lurus saja.

.

Saya akan mencoba membuktikan hal ini secara matematis.

.

Misalkan terdapat titik P (a,b) dan Q (c,d). Dengan sumbu x dan sumbu y pada sistim koordinat sembarang.

.

Sudut α adalah sudut yang dibentuk antara garis dan sumbu x. Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

 
 

Tangen α dirumuskan sebagai (d-b)/(c-a).

.

Karena a,b,c, dan d masing-masing adalah konstanta.

.

Maka dapat disimpulkan bahwa hasil Tangen α adalah juga konstanta.

.

Jadi, jika a,b,c, dan d adalah konstanta, sehingga Tangen α juga konstanta, maka hanya dimungkinkan satu sudut dengan sumbu x saja yang dapat dibentuk oleh garis antara dua titik. 

.

Apabila dimungkinkan satu sudut saja yang terbentuk, kesimpulannya juga hanya satu garis saja yang mungkin terbentuk.

.

Dengan demikian, postulat Euclides telah terbukti.

PENYELESAIAN BEBERAPA SOAL MATEMATIKA (TOPIK: KOMPOSISI FUNGSI DAN TRIGONOMETRI)

PENYELESAIAN BEBERAPA SOAL MATEMATIKA (TOPIK: KOMPOSISI FUNGSI DAN TRIGONOMETRI)

.

Ivan Taniputera.

18 Mei 2017.

.

1. Jika (f o g) = x^2 + 4x – 9 dan f(x) = x+3. Tentukan g(x).

 

Jawab:

.

Ini adalah soal komposisi fungsi.

Karena f o g merupakan fungsi kuadrat dan f(x) merupakan fungsi linear; maka g(x) sudah pasti merupakan fungsi kuadrat.

Kita misalkan g(x) = ax^2+bx+c

Masukkan g(x) ke f(x).

(f o g) (x) = (ax^2+bx+c) + 3

= ax^2 + bx + (c+3)

.

Jadi a = 1; b = 4

.

c+3 = -9; sehingga c = -12.

.

Oleh karenanya g(x) = x^2 + 4x – 12.

.

2. Diketahui f(x) = 1/2 x – 1 dan g(x) = 2x + 4. Tentukan (g o f)^-1(6).

.

Jawab:

.

Tentukan (g o f) terlebih dahulu:

(g o f) = 2 (1/2x – 1) + 4

= x – 2 + 4

= x + 2

.

Kini tentukan fungsi inversnya.

.

y = x + 2

x = y – 2

.

Jadi (g o f)^-1 (x) = x – 2.

.

(g o f)^-1 (6) = 4

.

3. Apabila n.tg 45⁰ .cos 60⁰ = sin 60⁰.cotg 60⁰. Hitunglah n.

.

Jawab:

.

Kita hitung dahulu nilai masing-masing.

.

n.1.1/2 = 1/2V3.1/3V3

.

CATATAN: V = tanda akar.

.

1/2.n = 1/2

 

Jadi n = 1

.

4. Tangen x = 1/V7. Tentukan nilai ((cosec^2(x)-sec^2(x))/(cosec^(x)+sec^2(x)).

.

Jawab:

 

Kita hitung dulu nilai secan (x) dan cosecan (x). 

 

Secan = sisi miring/sisi pada sudut

Cosecan = sisi miring / sisi di hadapan sudut.

.

Buat dulu gambar segitiganya. Ingat bahwa Tangen adalah sisi di hadapan sudut dibagi sisi pada sudut itu.

.

 

.

Secan (x) = V8/V7

Cosecan (x) = V8/1 atau V8.

.

Kemudian tinggal kita hitung saja.

.

= ((V8)^2-(V8/V7)^2)/((V8)^2+(V8/V7)^2)

= (8 – 8/7)(8+8/7)

= (48/7)(64/7)

= 3072/49

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL DIAKHIRI PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL.

.

Ivan Taniputera.

17 Mei 2017.

.

Saya menemukan soal sebagai berikut:

.

“ Buktikan bahwa (81^100).(121^100)-1 hasilnya diakhiri paling tidak dengan dua angka 0.”

.

Saya akan memecahkan soal tersebut sebagai berikut.

.

(81^100).(121^100)-1 = ((9^2)^100).((11^2)^100)-1

= 99^200-1

= 99^200-1^200 [Satu dipangkatkan berapa saja tetap 1].

=((99)^2)^100 – ((1)^2)^100)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^a – q^a = (p-q)(p^(a-1) + (p^(a-2).q) + ………)

.

Jadi ((99^2)^100 – ((1^2)^100) = (99^2-1^2).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + …………)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^2-q^2 = (p+q).(p-q)

.

= (99 + 1).(99 – 1).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + …………)

= (100).(98).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + …………)

.

Perhatikan bahwa terdapat 100 sebagai faktor. Perkalian dengan 100 paling tidak akan memberikan hasil yang diakhiri dengan dua angka nol.

.

Sebagai tambahan, kita juga dapat menyimpulkan bahwa hasilnya pasti dapat dibagi atau merupakan kelipatan 98.

BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

.

Ivan Taniputera.

15 Mei 2017.

.

 
 
 

Pada kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0 di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x………x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.

.

Pertama-tama kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.

.

Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.

.

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.

.

Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.

Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:

,

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2×5).

10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.

,

Total perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol. Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya diikuti oleh dua angka nol.

.

Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.

.

30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x………x 28 x 29 x 30.

.

Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:

.

5, 10, 15, 20, 25, dan 30.

.

5 = 1 x 5

10 = 2 x 5

15 = 3 x 5

20 = 4 x 5

25 = 5^2

30 = 5 x 6

.

Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x………29

Jadi secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah 265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti oleh tujuh angka 0.

.

Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.

.

Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:

.

(5^n).x.

Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)

.

Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.

Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.

.

Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.

kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.

.

5^2 = 25

5^3 = 125

5^4 = 625

5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).

.

Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4.

.

Untuk nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 = 1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin. Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.

.

Kini kita akan menghitung untuk n = 3.

.

Untuk n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.

.

Kita akan menghitung untuk n = 2.

.

Untuk n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.

.

Kita akan menghitung untuk n = 1

.

Untuk n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1

Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.

.

  • Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
  • Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
  • Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
  • Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).

.

Kini tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.

.

Karenanya kita boleh menuliskan:

.

2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x……x 2017.

.

Dengan demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka 0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual, kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!