MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

.

Ivan Taniputera. 

26 September 2015

.

 
 

Apakah dapat kita membuktikan suatu bilangan merupakan kelipatan 7 tanpa pembagian, khususnya yang berdigit besar? Ya, jawabannya adalah dapat! Namun kita harus sudah mengetahui 12 bilangan asli pertama yang dapat dibagi dengan tujuh, yakni:

 

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, dan 96.

 

 .

Agar jelasnya kita akan langsung mempraktikkannya dengan mengambil 649.349 sebagai contoh.

 

Pertama kurangkan 649.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 630.000.

.

 

649.349 

630.000 

———– – 

  19.349

 

.

Kurangkan kembali 19.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 14.000.

.

 

19.349 

14.000 

 ——— – 

  5.349

.

 

Kurangkan kembali 5.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 4.900.

.

 

5.349 

4.900 

——- – 

   449

 

.

Kurangkan kembali 449 denga salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 420.

.

 

449 

420 

—– – 

  29

 

 .

Ternyata 29 bukan merupakan kelipatan 7. 

 

 .

Jadi 649.349 bukan kelipatan 7.

.

 

Intinya kita mengurangkan terus hingga jumlahnya lebih kecil dari 96. 

 

Jika hasil akhirnya merupakan kelipatan tujuh, maka bilangan tersebut kelipatan 7.

.

 

Silakan Anda coba dengan digit-digit lain yang lebih besar.

.

 

Secara matematis, kita dapat menuliskan metoda di atas sebagai berikut:

 

A – 7a – 7b – 7c – ……….. = x

 

A adalah bilangan yang hendak kita cari apakah merupakan kelipatan tujuh atau bukan. 

7a, 7b, 7c, dan seterusnya, mewakili perkalian 12 bilangan asli pertama kelipatan tujuh dengan kelipatan 10. 

x adalah hasil akhir atau sisanya.

 

 .

Jika x merupakan keliatan 7, maka kita dapat menuliskan x sebagai 7X (sebagai pembeda, maka saya pergunakan X dengan huruf besar).

 

 .

Jadi: A – 7a – 7b – 7c -………. = 7X

.

 

Kita pindahkan 7a, 7b, 7c, dan seterusnya ke ruas kanan.

.

 

A = 7X + 7a + 7b + 7c+ ………..

.

 

Lalu kita mengeluarkan angka 7

.

 

A = 7 (X + a + b + c + ………………..)

.

 

Jadi terbukti bahwa A merupakan kelipatan 7.

.

 

Namun jika x bukan kelipatan 7, setelah 7a, 7b, 7c, dan seterusnya dipindah ke ruas kanan, maka angka 7 tidak dapat dikeluarkan, sehingga jelas sekali bahwa A bukan kelipatan 7.

.

Mudah dan sederhana, bukan?

.

 

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

Ivan Taniputera.
24 September 2015

Banyak orag yang masih bingung dalam menerapkan permutasi dan kombinasi. Adapun rumus masing-masing adalah sebagai berikut:

 

Permutasi

P (n,k) = (n!)/(n-k)!

 

Kombinasi

C (n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)

 

Pertama-tama kita bahas contoh penggunaan permutasi terlebih dahulu.

Misalkan ada empat orang anak, sebut saja Andy (A), Benny (B), Clara (C), Doni (D). Di antara keempat anak itu, akan dipilih dua orang masing-masing sebagai ketua (K) dan wakil ketua kelas (W). Kita diminta menentukan ada berapa kemungkinan pasangan ketua kelas beserta wakilnya.

Adapun kemungkinannya sebagai berikut (yang disebutkan pertama adalah K, sedangkan yang disebut belakangan adalah W):

 

1) A, B

2) B, A

3) A, C

4) C, A

5) A, D

6) D, A

7) B, C

8) C, B

9) B, D

10) D, B

11) C, D

12, D, C

 

Nampak bahwa terdapat 12 kemungkinan. Dalam hal ini A sebagai ketua dan B sebagai wakil berbeda dengan B sebagai ketua dan A sebagai wakil. Oleh karenanya, pada contoh ini, urutan adalah sesuatu yang penting. Anggota sama tetapi urutan berbeda dianggap berbeda (A, B beda dengan B, A).

Dalam kasus ini kita harus menggunakan PERMUTASI.

P(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.

Dalam kasus kita, n = 4 dan k = 2

P(4,2) = (4!)/(4-2)!

= 12

 

Kini kita beralih pada Kombinasi. Contoh kasusnya adalah sebagai berikut. Anda diberi 4 buah soal, sebut saja A, B, C, dan D. Anda diminta memilih dan mengerjakan 2 soal saja. Adapun kemungkinannya adalah:

 

1) A, B

2) A, C

3) A, D

4) B, C

5) B, D

6) C, D

 

Semua terdapat 6 kemungkinan. Dalam hal ini, urutan tidak penting. Anda mengerjakan soal A dahulu baru B atau B dahulu baru A adalah sama. Jika kedua soal itu Anda kerjakan dengan benar, maka tidak peduli bagaimana pun urutan Anda mengerjakannya, Anda mendapatkan nilai yang sama.

Guna menyelesaikan soal-soal seperti ini, Anda harus menggunakan KOMBINASI.

 

C(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.

Dalam kasus kita, n = 4 dan k =2

C(4,2) = (4!)/(2!(4-2)!)

=6

 

Mudah bukan?