PENYELESAIAN SOAL-SOAL LOGIKA

PENYELESAIAN SOAL-SOAL LOGIKA.

.
Ivan Taniputera.
21 Januari 2017
.
1) Jika nilai semua siswa pulang maka tidak ada pelajaran. Tentukan ingkarannya.
.
Jawaban:
.
Kita akan menggunakan rumus:
.
~(p→q)≡ (p ᴧ ~q)
.
Jadi ingkarannya adalah: semua siswa pulang dan ada pelajaran.
.
2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.
.
Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil. 
.
Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:
.
a^2+1 < 2
a^2-1 < 0
(a+1)(a-1) < 0
.
Untuk a< -1 dan a > 1 nilainya akan selalu lebih besar 0 (positif). Sedangkan untuk -1 < a < 1 nilainya akan selalu lebih kecil 0 (negatif). Tidak semua nilainya lebih kecil 0. Jadi tidak semua nilai a kuadrat ditambah 1 akan lebih kecil dibandingkan 2.
 
 
.
 

MEMBACA PRINCIPIA KARYA SIR ISAAC NEWTON

MEMBACA PRINCIPIA KARYA SIR ISAAC NEWTON.

.

Ivan Taniputera.

19 Januari 2017

.

Sebagian besar di antara kita, tentunya telah mengenal Sir Isaac Newton (1643-1727) semenjak dari bangku sekolah. Kita barangkali telah mengetahui bahwa, ia merupakan penulis karya tersohor dalam bidang matematika serta fisika berjudul “Principia.” Sebenarnya itu merupakan singkatan dari judul berbahasa Latin “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,” yang bila diterjemahkan ke bahasa Indonesia akan berbunyi “Prinsip-prinsip Matematika Dalam Filsafat Alam.” Saya tiba-tiba saja tertarik membaca karya tersebut untuk mengetahui apakah di masa sekarang masih diperlukan membacanya. Beruntunglah di era Internet ini, berbagai karya terkemuka di zaman dahulu dapat dengan mudah dijumpai. Karya Newton ini memberikan sumbangsih berharga pada berbagai cabang sains, seperti astronomi, mekanika, matematika, dan lain sebagainya.

.

Newton membuka karyanya dengan suatu definisi, yang disebutnya Definisi Pertama:

.

“Kuantitas materi adalah ukuran sama yang timbul dari massa jenis dan isi secara bersamaan.”

.

Saya mencoba memahami apa yang dimaksud Isaac Newton dengan definisi tersebut. Ia menjelaskan bahwa jika massa jenis udara digandakan dengan ruang yang ditempatinya (maksudnya volume) juga digandakan, maka kuantitasnya akan menjadi rangkap empat. Apabila volumenya dibuat rangkap tiga (massa jenis tetap digandakan sebagaimana disebutkan sebelumnya), maka kuantitasnya akan menjadi rangkap enam. Kuantitas materi ini dengan demikian adalah sesuatu yang kini lebih kita kenal dengan massa. Newton sedang menjelaskan mengenai hubungan antara massa, massa jenis, dan volume; yakni melalui rumus yang kini kita kenal sebagai:

.

massa = massa jenis x volume.

m = ρ .V

.

Rumus ini tentu sudah kita kenal sejak duduk di bangku SMP. Newton menambahkan pula bahwa apa yang disebut massa ini berbanding lurus (proporsional) dengan beratnya. Hal ini tentu sudah kita kenal melalui rumus:

.

W = m. g

.

Kita akan melanjutkan dengan definisi kedua Newton:

.

“Kuantitas gerak adalah ukuran sama, yang timbul dari kecepatan dan kuantitas materi (massa) secara bersamaan. “

.

Ia menambahkan, jika suatu materi massanya digandakan tetapi kecepatannya tetap, maka kuantitas geraknya akan menjadi dua kali lipat (digandakan pula). Apabila kecepatannya juga digandakan dua kali lipat, maka kuantitas geraknya akan menjadi empat kali lipat. Nampaknya apa yang kita kenal sebagai kuantitas gerak ini adalah momentum atau p, yang dirumuskan sebagai:

.

Momentum = massa x kecepatan.

.

p = m.v

.

Kita melanjutkan lagi pada Definisi Ketiga. Definisi ketiga Newton inilah yang ternyata kita kenal sebagai Hukum Newton Pertama dalam buku-buku fisika:

.

“Gaya yang terdapat dalam sebuah materi, adalah kekuatan untuk melawan, dimana setiap benda pada keadaannya saat itu, berupaya mempertahankan keadaannya, baik itu saat diam atau bergerak lurus dengan kecepatan tetap dalam suatu garis lurus.”

.

Hal ini yang kita kenal dengan sifat kelembaman benda. Efeknya nampak saat mobil mengerem secara mendadak, dimana kita akan tersentak maju ke depan, atau saat mobil menambah kecepatan kita akan serasa terdorong ke belakang. Newton menyebut sifat ini dalam bahasa Latin sebagai vis inertiae atau “gaya tidak aktif” (inactivity force).

.

Definisi keempat Newton berbunyi:

.

“Gaya yang dikerahkan adalah upaya diberikan pada sebuah benda, guna mengubah keadaannya; baik itu dalam keadaan diam atau bergerak lurus beraturan.”

Newton menjelaskan bahwa gaya itu hanya berupa tindakan saja dan tidak lagi ada jika tindakan tersebut tidak lagi diberikan. Mungkin inilah kita yang kini kita sebut dengan “gaya luar” F.

.

Sampai di sini dahulu pembacaan saya terkait Principia karya Isaac Newton karena hari sudah larut malam. Pembacaan akan saya lanjutkan di lain kesempatan. Tentunya karya ini akan sangat menarik bagi para penggemar fisika.

MENENTUKAN NILAI PI BERDASARKAN TEOREMA LIMIT

MENENTUKAN NILAI PI PERDASARKAN TEOREMA LIMIT.

.

Ivan Taniputera.

8 Januari 2017

.

.

Misalkan kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.

.

Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).

Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).

.

Keliling segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).

Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).

= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).

.

Apabila nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran. Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI; maka kita dapat menyimpulkan.

limit n–&gt;tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.

.

Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.

.

 
 

.

Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut. 

,

Unuk n = 4, nilainya adalah 4.

n = 5, nilainya adalah 3.63271264

n = 10, nilainya adalah 3.249196962

n = 20, nilainya adalah 3.167688806

n = 50, nilainya adalah 3.145733363

n = 100, nilainya adalah 3.142626604

n = 200, nilainya adalah 3.141851065

n = 500, nilainya adalah 3.141633996

n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655

n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654

.

Jadi jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.

.

Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

.

 

.

Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.