BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

.

Ivan Taniputera.

15 Mei 2017.

.

 
 
 

Pada kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0 di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x………x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.

.

Pertama-tama kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.

.

Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.

.

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.

.

Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.

Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:

,

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2×5).

10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.

,

Total perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol. Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya diikuti oleh dua angka nol.

.

Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.

.

30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x………x 28 x 29 x 30.

.

Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:

.

5, 10, 15, 20, 25, dan 30.

.

5 = 1 x 5

10 = 2 x 5

15 = 3 x 5

20 = 4 x 5

25 = 5^2

30 = 5 x 6

.

Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x………29

Jadi secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah 265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti oleh tujuh angka 0.

.

Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.

.

Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:

.

(5^n).x.

Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)

.

Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.

Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.

.

Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.

kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.

.

5^2 = 25

5^3 = 125

5^4 = 625

5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).

.

Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4.

.

Untuk nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 = 1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin. Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.

.

Kini kita akan menghitung untuk n = 3.

.

Untuk n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.

.

Kita akan menghitung untuk n = 2.

.

Untuk n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.

.

Kita akan menghitung untuk n = 1

.

Untuk n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1

Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.

.

  • Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
  • Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
  • Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
  • Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).

.

Kini tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.

.

Karenanya kita boleh menuliskan:

.

2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x……x 2017.

.

Dengan demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka 0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual, kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s