PRINSIP-PRINSIP DASAR ALJABAR

PRINSIP-PRINSIP DASAR ALJABAR

.

Ivan Taniputera.

27 November 2016.

.

Saya menulis artikel ini karena menyaksikan banyak siswa dan bahkan orang dewasa yang masih salah dalam menerapkan prinsip-prinsip aljabar. Oleh karenanya, pada kesempatan kali ini, saya akan memaparkan prinsip-prinsip dasar aljabar secara ringkas dan mudah dipahami. Materi yang tercantum dalam artikel ini dapat disetarakan dengan bahan pelajaran kelas VII (SMP kelas 1).

.

Pertama-tama, kita perlu menjelaskan berbagai istilah yang dipergunakan dalam aljabar. Marilah kita perhatikan bentuk aljabar sebagai berikut:

.

2x + 5y = 10.

.

x dan y disebut variabel, karena nilainya belum ditentukan atau dapat diisi dengan bilangan berapa saja.

2 dan 5 disebut sebagai koefisien, yakni angka-angka di depan variabel. Sebagai catatan koefisien 1 tidak perlu ditulis. jadi 1x cukup ditulis x. Jadi dengan demikian kita mengetahui bahwa x mempunyai koefisien 1.

10 disebut sebagai konstanta, karena nilainya merupakan bilangan yang sudah tetap (konstan) atau tidak berubah lagi.

2x, 5y, dan 10 disebut suku-suku aljabar. Jadi ini merupakan bagian-bagian sebuah persamaan aljabar.

.

Kemudian kita akan membahas mengenai apa yang disebut “ruas.” Silakan perhatikan persamaan berikut ini.

2x+5y = 3z – 5 .

Terdapat dua bagian yang dipisahkan oleh tanda sama dengan (=); yakni 2x+5y dan 3z-5. Inilah yang disebut ruas. 2x+5y disebut “ruas kiri,” karena terletak di sebelah kiri; sedangkan 3z-5 disebut “ruas kanan,” karena terletak di sebelah kanan.

.

PRINSIP PERTAMA: Hanya suku-suku sejenis yang dapat dioperasikan melalui penjumlahan dan pengurangan.

.

Suku sejenis adalah suku yang mempunyai variabel sama. Contoh: 2x, 3x, dan 10x adalah suku yang sejenis. Sebaliknya suku-suku yang tidak sejenis tidak dapat dioperasikan.

.

Cara mengoperasikan suku-suku sejenis adalah seperti penjumlahan dan pengurangan biasa. Contoh: 5x + 2x = 7x; 3y + 7y = 10y; 5z-3z = 2z. Jadi yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah koefisiennya, sementara itu variabelnya tetap.

.

Suku tidak sejenis tidak dapat dioperasikan melalui penjumlahan atau pengurangan. Jadi:

10x + 5y hasilnya tetap 10x + 5y: dan bukan 15xy!

.

PRINSIP KEDUA: Cara mengoperasikan suku-suku aljabar melalui perkalian.

.

Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan, maka operasi perkalian dapat dilangsungkan pada suku-suku sejenis maupun tidak sejenis.

Suku sejenis dapat dikalikan menjadi bilangan berpangkat. Contoh 2x . 3x = 6x^2 (baca: 6 x pangkat 2). 2y.3y.4y = 24y^3 (baca: 24 y pangkat 3). Koefisiennya dikalikan dan variabelnya dipangkatkan.

.

Cara mengalikan suku-suku yang tidak sejenis adalah sebagai berikut. Contoh: 2x.3y = 6xy. Jadi yang dikalikan adalah koefisiennya dan variabelnya juga demikian.

.

PRINSIP KETIGA: PINDAH RUAS PADA PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

.

Pindah ruas ini masih menjadi sumber kesalahan utama. Prinsipnya cukup mudah. Kita akan membahas penjumlahan dan pengurangan terlebih dahulu. Prinsipnya adalah: Jika terjadi perpindahan ruas, maka suku yang positif menjadi negatif, sebaliknya yang negatif menjadi positif. Siswa yang kurang teliti sering lupa mengubah tanda positif dan negatif tersebut, sehingga terjerumus pada kesalahan. Untuk jelasnya perhatikan contoh sebagai berikut.

3x+5y = 7z-10.

.

Kita akan memindah 7z ke ruas kiri; maka karena 7z adalah positif, begitu dipindahkan akan menjadi negatif:

.

3x+5y-7z = -10.

.

Contoh lain:

.

8x-5y-10=12. Kita hendak memindahkan -10 ke ruas kanan. Karena -10 merupakan bilangan negatif, maka jika dipindahkan ruasnya akan menjadi positif.

8x-5y=12+10

8x-5y=22.

.

Hal yang perlu diperhatikan adalah jika seluruh anggota ruas dipindahkan atau ditukarkan satu sama lain, maka tidak perlu ada pertukaran tanda.

.

8x = 3y

3y = 8x (tidak perlu ada pertukaran tanda)

.

7x+5y=10z-3

10z-3=7x+5y (tidak perlu ada pertukaran tanda)

.

PRINSIP KEEMPAT: PINDAH RUAS PADA PEMBAGIAN DAN PERKALIAN.

.

Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan, maka pada pembagian beserta perkalian tidak terjadi pertukaran atau perubahan tanda. Prinsipnya adalah jika pindah ruas, maka pengali akan menjadi pembagi dan pembagi akan menjadi pengali. Silakan perhatikan contoh di bawah ini.

.

5x/y = 10; kita akan memindahkan y ke ruas kanan. Nampak bahwa di ruas kiri y adalah pembagi. Jadi jika dipindahkan ke ruas kanan, y akan menjadi pengali: 5x = 10y.

.

Contoh berikutnya: 10xy = 20. Kita akan memindahkan y ke ruas kanan. Karena y adalah pengali, maka jika dipindahkan ia akan menjadi pembagi: 10x = 20/y.

.

Salah satu kesalahan yang sering dialami para siswa adalah mencampur adukkan dengan prinsip pindah ruas pada operasi penjumlahan atau pengurangan, yakni tandanya ikut diganti. Ini adalah kesalahan fatal yang harus dihindari.

.

PRINSIP LIMA: PINDAH RUAS PADA OPERASI CAMPURAN

.

Maksud operasi campuran adalah suatu persamaan aljabar yang terdapat penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian sekaligus. Hal ini merupakan sesuatu yang cukup rumit dan sering menjadi sumber kesalahan. Kita akan mencoba mengupas berbagai prinsip yang ada secara perlahan, langkah demi langkah, dan bahasa sesederhana mungkin.

.

Prinsip 5.a: Prinsip empat (pengali menjadi pembagi; pembagi menjadi pengali) tidak dapat diterapkan, jika masih terdapat penjumlahan dan pengurangan dengan suku-suku lain.

Contoh: 5x + y = x/z – 2

Kita tidak dapat langsung memindahkan z di ruas kanan ke ruas kiri. Karena masih terdapat pengurangan dengan suku lain, yakni 2. Kesalahan yang beberapa kali saya amati adalah sebagai berikut: (5x+y).z = x-2. Mereka langsung memindahkan z ke ruas kiri sebagai pengali. Ini merupakan KESALAHAN fatal. Lalu apa yang harus dilakukan? Pertama-tama, samakan penyebut pada ruas kanan.

.

5x + y = (x-2z)/z; prinsip menyamakan penyebut ini sama dengan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan, sebagaimana yang telah dipelajari di bangku sekolah dasar (sd).

.

Setelah disamakan penyebutnya seperti di atas, barulah z dapat dipindahkan ke ruas kiri, menjadi: (5x+y).z = x-2z. Mengapa kini boleh dipindahkan padahal masih terdapat operasi pengurangai berupa x-2z? Jawabannya adalah dengan adanya penyamaan penyebut seperti di atas, maka (x-2z) sudah dianggap sebagai satu “kesatuan” yang tidak terpisahkan; jadi seolah-olah (x-2z) itu dianggap sebagai satu suku. Begitu pula saat dipindahkan ke ruas kiri, maka 5x+y juga dipandang sebagai suatu kesatuan, sehingga harus ditulis dalam tanda kurung. Jadi BUKAN: 5xz+7 = x-2z. Ini juga merupakan satu kesalahan fatal, yakni z hanya dikalikan pada salah satu suku saja di ruas kiri.

.

Prinsip 5b. Pada satu suku yang terdapat pembagian (misalnya x/y) yang diikuti oleh penjumlahan atau pengurangan dengan suku lain, maka jika hendak dipindah ruas, keseluruhan suku dengan pembagian itu harus dipindahkan dengan perubahan tanda. Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut ini. .

x/y-5 = 2z+3. Dalam hal ini jika x/y di ruas kiri harus dipindahkan secara keseluruhan jika memang ingin dipindah ke ruas kanan; menjadi -5=2z+3-(x/y). Jadi tidak boleh hanya memindahkan x atau y saja. x dan y dalam x/y harus dianggap sebagai satu kesatuan, selama masih ada operasi penjumlahan beserta pengurangan lain pada ruas tersebut.

.

Hal ini berbeda pada: 5z = x/y. Nampak bahwa tidak ada operasi penjumlahan dan pengurangan lain di ruas kanan; sehingga y di ruas kanan dapat kita pindahkan ke ruas kiri dengan menerapkan prinsip empat, sebagai berikut: 5zy = x.

.

PRINSIP ENAM: MENCORET

.

Pencoretan boleh dilakukan jika pada masing-masing ruas atau suku seluruhnya berupa operasi pembagian dan perkalian. Apabila masih ada operasi penjumlahan dan pengurangan pada suatu ruas atau suku, maka tidak boleh dilakukan pencoretan. Untuk jelasnya, silakan perhatikan contoh-contoh sebagai berikut:

.

2xy = yz. Perhatikan bahwa pada masing-masing ruas, tidak terdapat operasi penjumlahan dan pengurangan, sehingga y boleh dicoret. Persamaan itu menjadi: 2x = z.

.

contoh lain: 2 = 3xy/y. Dalam hal ini kedua y pada ruas kanan boleh dicoret, sehingga menjadi: 2 = 3x.

.

Meskipun demikian, jika terdapat operasi penjumlahan dan pengurangan, maka pencoretan tidak boleh dilakukan:

.

2x = 5x + y; maka kedua x tidak boleh dicoret. Contoh lain: 2z = (3x+5y)/y. Kedua y pada ruas kanan tidak boleh dicoret, karena masih ada operasi penjumlahan dengan 3x.

.

Demikianlah prinsip-prinsip dasar terpenting dalam aljabar.

22fb7-brosur3_1

MATEMATIKA SMP: APA YANG DIMAKSUD BERBANDING LURUS DAN TERBALIK?

MATEMATIKA SMP: APA YANG DIMAKSUD BERBANDING LURUS DAN TERBALIK?

Ivan Taniputera

2 Juni 2014

 

Berbanding lurus maksudnya adalah jika yang satu bertambah banyak, maka pihak satunya lagi juga bertambah banyak. Contohnya adalah jumlah undangan pesta dan hidangan yang harus disediakan. Apabila tamu yang diundang bertambah banyak, maka hidangan yang harus disediakan juga harus bertambah banyak. Jikalau hidangannya bertambah sedikit, maka akan terjadi kekurangan atau terdapat tamu yang tidak mendapatkan hidangan. Contoh lain adalah jumlah roti dan bahan yang dibutuhkan untuk membuatnya. Apabila hendak membuat lebih banyak roti, maka bahannya harus ditambah pula.

Berbanding terbalik maksudnya adalah jika yang satu bertambah banyak, maka pihak satunya lagi justru bertambah sedikit, dan demikian pula sebaiknya. Contohnya adalah jumlah pekerja dan lama waktu yang dibutuhkan dalam membangun rumah. Jika semakin banyak pekerja, maka waktu diperlukan dalam membangun rumah semakin singkat. Contoh lain adalah kecepatan dan waktu tempuh. Semakin cepat kita mengendarai kendaraan, maka waktu tempuhnya juga makin singkat.

Silakan kunjungi grup kami https://www.facebook.com/groups/539848279458850/

Bimbingan belajar di kota Semarang.

DASAR-DASAR PEMECAHAN SOAL PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

DASAR-DASAR PEMECAHAN SOAL PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

 

Ivan Taniputera

26 Mei 2014

 

Terdapat beberapa metoda dalam memecahkan soal persamaan linear dua variabel, yakni:

 

1.Substitusi

2.Eliminasi

3.Metoda grafik

 

Sebagai contoh adalah soal sebagai berikut:

 

2x + y = 7

x +3y = 11

 

Cari nilai x dan y yang memenuhi persamaan linear dua variabel di atas.

 

1.METODA SUBSTITUSI

 

Cara: membuat salah satu persamaan ke dalam bentuk x =….. atau y = …… Kemudian disubstitusikan pada persamaan satunya.

 

Contoh 2x + y = 7 kita ubah menjadi y = 7 – 2x.

 

Substitusikan pada persamaan satunya.

 

x + 3 (7-2x) = 11

 

x + 21-6x = 11

 

-5x = -10

 

x = 2

 

Substitusikan nilai x pada salah satu persamaan. Misalkan 2(2) + y = 7, didapatkan y = 3

 

Jad x = 2 dan y = 3

 

 

2.METODA ELIMINASI

 

Cara: menyamakan koefisien pada salah satu variabel pada kedua persamaan. Variabel itulah yang akan dieliminasi (dihilangkan).

 

Misalkan yang akan kita samakan adalah koefisien pada variabel x

 

x + 3y = 11 | x2

2x + y = 7   | x1

 

2x + 6y = 22

2x + y = 7

 

 

Agar x tereliminasi (hilang) maka kedua persamaan di atas harus dikurangkan.

 

2x + 6y = 22

2x + y = 7

——————  –

5y = 15

 

y = 3

 

Masukkan nilai y pada salah satu persamaan, didapatkan x = 2.

 

3.METODA GRAFIK

 

 

Cara: Gambar kedua persamaan sebagai grafik dan tentukan titik potongnya yang merupakan pemecahan bagi persamaan linear dua variabel tersebut.

 

Untuk menggambar persamaan linear itu gunakanlah metoda sebagai berikut.

 

Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x=0) dan titik potong dengan sumbu X (y=0)

 

x + 3y = 11

 

x        y

0       11/3

11     0

 

Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 11/3). Titik potong dengan sumbu X  adalah (11, 0).

 

2x + y = 7

 

x        y

0       7

7/2    0

 

Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 7). Titik potong dengan sumbu X adalah (7/2, 0).

 

Selanjutnya kita akan menggunakan software Z-Grapher untuk menggambar kedua persamaan tersebut serta mencari titik potong keduanya.

 

 

Nampak bahwa x = 2 dan y = 3.