BUKTI POSTULAT EUCLIDES

BUKTI POSTULAT EUCLIDES

.

Ivan Taniputera.

4 Agustus 2017.

.

Euclides menyatakan dalam postulatnya, bahwa di antara dua titik hanya dapat dibuat satu garis lurus saja.

.

Saya akan mencoba membuktikan hal ini secara matematis.

.

Misalkan terdapat titik P (a,b) dan Q (c,d). Dengan sumbu x dan sumbu y pada sistim koordinat sembarang.

.

Sudut α adalah sudut yang dibentuk antara garis dan sumbu x. Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

 
 

Tangen α dirumuskan sebagai (d-b)/(c-a).

.

Karena a,b,c, dan d masing-masing adalah konstanta.

.

Maka dapat disimpulkan bahwa hasil Tangen α adalah juga konstanta.

.

Jadi, jika a,b,c, dan d adalah konstanta, sehingga Tangen α juga konstanta, maka hanya dimungkinkan satu sudut dengan sumbu x saja yang dapat dibentuk oleh garis antara dua titik. 

.

Apabila dimungkinkan satu sudut saja yang terbentuk, kesimpulannya juga hanya satu garis saja yang mungkin terbentuk.

.

Dengan demikian, postulat Euclides telah terbukti.

Advertisements

BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

.

Ivan Taniputera.

15 Mei 2017.

.

 
 
 

Pada kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0 di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x………x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.

.

Pertama-tama kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.

.

Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.

.

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.

.

Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.

Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:

,

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2×5).

10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.

,

Total perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol. Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya diikuti oleh dua angka nol.

.

Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.

.

30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x………x 28 x 29 x 30.

.

Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:

.

5, 10, 15, 20, 25, dan 30.

.

5 = 1 x 5

10 = 2 x 5

15 = 3 x 5

20 = 4 x 5

25 = 5^2

30 = 5 x 6

.

Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x………29

Jadi secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah 265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti oleh tujuh angka 0.

.

Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.

.

Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:

.

(5^n).x.

Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)

.

Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.

Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.

.

Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.

kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.

.

5^2 = 25

5^3 = 125

5^4 = 625

5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).

.

Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4.

.

Untuk nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 = 1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin. Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.

.

Kini kita akan menghitung untuk n = 3.

.

Untuk n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.

.

Kita akan menghitung untuk n = 2.

.

Untuk n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.

.

Kita akan menghitung untuk n = 1

.

Untuk n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1

Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.

.

  • Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
  • Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
  • Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
  • Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).

.

Kini tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.

.

Karenanya kita boleh menuliskan:

.

2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x……x 2017.

.

Dengan demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka 0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual, kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!

MENENTUKAN NILAI PI BERDASARKAN TEOREMA LIMIT

MENENTUKAN NILAI PI PERDASARKAN TEOREMA LIMIT.

.

Ivan Taniputera.

8 Januari 2017

.

.

Misalkan kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.

.

Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).

Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).

.

Keliling segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).

Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).

= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).

.

Apabila nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran. Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI; maka kita dapat menyimpulkan.

limit n–>tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.

.

Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.

.

 
 

.

Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut. 

,

Unuk n = 4, nilainya adalah 4.

n = 5, nilainya adalah 3.63271264

n = 10, nilainya adalah 3.249196962

n = 20, nilainya adalah 3.167688806

n = 50, nilainya adalah 3.145733363

n = 100, nilainya adalah 3.142626604

n = 200, nilainya adalah 3.141851065

n = 500, nilainya adalah 3.141633996

n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655

n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654

.

Jadi jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.

.

Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

.

 

.

Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

.

Ivan Taniputera. 

26 September 2015

.

 
 

Apakah dapat kita membuktikan suatu bilangan merupakan kelipatan 7 tanpa pembagian, khususnya yang berdigit besar? Ya, jawabannya adalah dapat! Namun kita harus sudah mengetahui 12 bilangan asli pertama yang dapat dibagi dengan tujuh, yakni:

 

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, dan 96.

 

 .

Agar jelasnya kita akan langsung mempraktikkannya dengan mengambil 649.349 sebagai contoh.

 

Pertama kurangkan 649.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 630.000.

.

 

649.349 

630.000 

———– – 

  19.349

 

.

Kurangkan kembali 19.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 14.000.

.

 

19.349 

14.000 

 ——— – 

  5.349

.

 

Kurangkan kembali 5.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 4.900.

.

 

5.349 

4.900 

——- – 

   449

 

.

Kurangkan kembali 449 denga salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 420.

.

 

449 

420 

—– – 

  29

 

 .

Ternyata 29 bukan merupakan kelipatan 7. 

 

 .

Jadi 649.349 bukan kelipatan 7.

.

 

Intinya kita mengurangkan terus hingga jumlahnya lebih kecil dari 96. 

 

Jika hasil akhirnya merupakan kelipatan tujuh, maka bilangan tersebut kelipatan 7.

.

 

Silakan Anda coba dengan digit-digit lain yang lebih besar.

.

 

Secara matematis, kita dapat menuliskan metoda di atas sebagai berikut:

 

A – 7a – 7b – 7c – ……….. = x

 

A adalah bilangan yang hendak kita cari apakah merupakan kelipatan tujuh atau bukan. 

7a, 7b, 7c, dan seterusnya, mewakili perkalian 12 bilangan asli pertama kelipatan tujuh dengan kelipatan 10. 

x adalah hasil akhir atau sisanya.

 

 .

Jika x merupakan keliatan 7, maka kita dapat menuliskan x sebagai 7X (sebagai pembeda, maka saya pergunakan X dengan huruf besar).

 

 .

Jadi: A – 7a – 7b – 7c -………. = 7X

.

 

Kita pindahkan 7a, 7b, 7c, dan seterusnya ke ruas kanan.

.

 

A = 7X + 7a + 7b + 7c+ ………..

.

 

Lalu kita mengeluarkan angka 7

.

 

A = 7 (X + a + b + c + ………………..)

.

 

Jadi terbukti bahwa A merupakan kelipatan 7.

.

 

Namun jika x bukan kelipatan 7, setelah 7a, 7b, 7c, dan seterusnya dipindah ke ruas kanan, maka angka 7 tidak dapat dikeluarkan, sehingga jelas sekali bahwa A bukan kelipatan 7.

.

Mudah dan sederhana, bukan?

.

 

MENENTUKAN APAKAH SEBUAH BILANGAN MERUPAKAN KELIPATAN 3

MENENTUKAN APAKAH SEBUAH BILANGAN MERUPAKAN KELIPATAN 3

 

Ivan Taniputera

6 September 2013

 

 

Sewaktu masih duduk di bangku Sekolah Dasar, saya diajarkan bahwa ciri khas bilangan kelipatan tiga adalah jika masing-masing angka digitnya dijumlahkan, maka hasilnya juga akan merupakan kelipatan tiga.

 

Sebagai contoh adalah apakah 171 merupakan kelipatan tiga? Mari kita jumlahnya angka-angka digitnya: 1+7+1 dan hasilnya adalah 9. Sembilan adalah kelipatan 3, jadi 171 merupakan kelipatan tiga. Memang benar bahwa 171 = 3 x 57. Apakah 671 kelipatan tiga? Mari kita jumlahkan digit-digitnya. 6+7+1 = 14, karena 14 bukan kelipatan 3, maka 671 bukan kelipatan tiga.

 

Namun karena masih duduk di bangku Sekolah Dasar, tentu saja saya belum diajarkan latar belakang atau bukti matematis bagi perhitungan tersebut.

 

Meskipun demikian, saya tergerak mencoba mencari bukti matematisnya, mengapa bilangan jika jumlah digitnya merupakan kelipatan tiga, maka bilangan itu juga kelipatan tiga. Tentu harus ada bukti matematis yang melatar-belakangi hal ini. Saya coba melakukan analisa matematis sebagai berikut.

 

Misalkan terdapat bilangan  …..edcba, dengan a, b, c, d, e, dst.. merupakan digit-digit angka tersebut. Jadi a merupakan satuan, b merupakan puluhan, c merupakan ratusan, d merupakan ribuan, e merupakan puluhan ribu, dan seterusnya.

 

Dengan demikian jumlah digit-digitnya adalah a + b + c + d + e +……, yang kita misalkan merupakan kelipatan 3. Kita dapat menuliskannya sebagai berikut: a + b + c + d + e +…… = 3N. Dengan N adalah sembarang bilangan bulat  bukan nol. Ini kita sebut persamaan pertama.

 

…. edcba dapat kita tulis sebagai a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e. Ini kita sebut persamaan kedua.

 

Kini tugas kita adalah menghubungkan persamaan pertama dan kedua.

 

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +…… = (a + b + c + d + e +……) + (9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + …..)

 

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +…… = 3N + 9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + …..

 

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +…… = 3N + 3*3.b + 3*33.c + 3*333.d + 3*3333.e +……..

 

a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +……= 3 (N + 3.b + 33.c + 333.d + 3333.e + ………..)

 

Dengan demikian, perhitungan di atas membuktikan bahwa selama hasil penjumlahan angka-angka digit sebuah bilangan merupakan kelipatan tiga, maka bilangan itu juga pasti akan merupakan kelipatan tiga. Dengan demikian terbukti sudah.

 

Matematika sungguh menyenangkan.

MEMECAHKAN TEKA TEKI MATEMATIKA JADUL

MEMECAHKAN TEKA TEKI MATEMATIKA JADUL
.
Ivan Taniputera
15 Februari 2014
.
Saya menemukan teka-teki jadul berikut ini:
.

tekatekimat

Dalam bahasa yang lebih modern, teka-teki di atas kurang lebih akan berbunyi sebagai berikut:

1.Kita diminta mengisikan angka 4 hingga 15 pada lingkaran-lingkaran kosong di gambar burung tersebut.
2.Jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran adalah empat kali angka pada lingkaran bertepi garis tebal.
3.Angka pada lingkaran bertepi garis ganda adalah separuh angka pada lingkaran bertepi garis tebal.
4.Apabila angka pada lingkaran bertepi garis tebal dikalikan dengan angka pada lingkaran bertepi garis ganda, maka hasilnya sama dengan jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran.

Anda boleh mencoba memecahkannya terlebih dahulu tanpa melihat pemecahannya di bawah ini.

ALUR PEMIKIRAN

Jika angka-angka yang diisikan pada lingkaran-lingkaran di atas, merupakan anggota himpunan B, maka B={x| 4<=x<=15, xE bilangan bulat} atau B={4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.

Kita misalkan angka pada lingkaran bertepi garis tebal = X dan angka pada lingkaran bertepi garis ganda = Y. Berdasarkan empat ketentuan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa X pasti adalah bilangan genap. Karena jika bukan bilangan genap, maka Y tidak mungkin menjadi separuh X.

Berlaku X = 2Y

Pada deretan angka 4 hingga 15, maka bilangan genap adalah 4, 6, 8, 10, 12, dan 14. Angka 4 dan 6 dapat kita keluarkan, karena separuh dari 4 adalah 2 dan separuh dari 6 adalah 3. Angka 2 dan 3 berada di luar deretan angka yang boleh diisikan. Dengan kata lain 2 dan 3 bukanlah elemen himpunan B.

Informasi berikutnya yang kita dapatkan adalah jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran adalah bilangan genap dan merupakan kelipatan empat, karena merupakan empat kali angka pada lingkaran bertepi garis tebal (X). Jadi jumlah angka pada setiap deretan 3 lingkaran adalah 4X.

Misalkan jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran kita misalkan = Z

Z = 4X = 4(2Y) = 8Y

Dengan X,Y,Z adalah anggota himpunan B.

Z secara spesifik adalah bilangan kelipatan delapan.

Jumlah deretan tiga angka terkecil adalah 15, yakni berasal jumlah tiga anggota terkecil himpunan B = 4+5+6.
Jumlah deretan tiga angka terbesar adalah 42, yakni berasal dari jumlah tiga anggkota terbesar himpunan B = 13+14+15

Jadi Z berkisar antara 15 dan 42. Kita mencari bilangan kelipatan 8 antara 15 dan 42, yakni 16, 24, dan 32. Perhatikan bahwa jika Z = 16, maka Y=2. Ini tidak mungkin, karena 2 bukan anggota himpunan B.
Perhatikan bahwa jika Z = 24, maka Y=3. Ini tidak mungkin, karena 3 bukan anggota himpunan B.

Jadi yang mungkin adalah 32.

Z=32, X=8, dan Y=4.

Dengan demikian kita telah menentukan lokasi angka 4 dan 8 secara pasti.

Langkah selanjutnya bersifat coba-coba dan merupakan seni, yakni dengan mencoba mengisikan angka-angka lainnya. Namun kita perlu pertimbangkan sebagai berikut. Di sebelah angka 8, minimal adalah angka 9, karena jika kita mengisikan pada lingkaran satunya dengan angka terbesar yang mungkin (15), maka lingkaran satunya harus berisikan 9. Jika kita mengisikan 8, maka lingkaran satunya harus diisi dengan 16 agar jumlahnya menjadi 32. Padahal 16 bukan anggota himpunan B.

Angka disamping 4 minimal adalah 13, karena jika kita mengisikan angka terbesar yang mungkin (15), maka lingkaran pada tepi satunya lagi harus diisi 13., jadi kemungkinannya tinggal 13, 14, 15.

Berikut ini adalah jawabannya.

Tekatekimat2

Perhatikan bahwa letak angka 7 dan 11 dapat ditukar.

11+4+7 = 7+4+11

tekatekimat3

491c9-brosur3