PERSAMAAN GERAK TITIK YANG BERAYUN PADA OBYEK BERGERAK LURUS BERATURAN

PERSAMAAN GERAK TITIK YANG BERAYUN PADA OBYEK BERGERAK LURUS BERATURAN.

.

Ivan Taniputera.

27 Juli 2016.

.

Sebuah boneka besar kucing yang dapat melambai-lambaikan kaki depannya didirikan di atas sebuah mobil untuk reklame. Kaki depan (panjang l m) boneka kucing melambai-lambai dari posisi vertikal ke arah kanan dan kiri, demikian seterusnya (lihat gambar). Titik P terletak pada telapak kaki boneka kucing. Mobil bergerak dengan kecepatan tetap (v m/s). Kecepatan sudut gerakan kaki kucing adalah ω 1/s. Simpangan maksimalnya adalah A. Tentukan persamaan vektor kedudukan titik P terhadap pengamat yang diam.

.

 
 

Pertama-tama kita akan menguraikan vektor-vektornya sebagai berikut.

.

 
 

.

Berdasarkan gambar di atas, vektor Rb dapat kira uraikan menjadi Rb.Cos ψ (t) selaku komponen pada sumbu y dan Rb.Sin ψ (t) selaku komponen pada sumbu x.

.

Karena ψ (t) tidak melakukan satu putaran penuh, melainkan hanya mencapai sudut maksimal tertentu dan setelah itu berayun ke arah lawannya, maka ψ (t) dapat kita definisikan sebagai A.Sin φ (t). Adapun A adalah simpangan maksimum atau amplitudonya. Dengan kata lain, nilai ψ (t) tidak akan melebihi +A dan -A.

.

φ (t) sendiri didefinisikan sebagai ω t, dengan ω sebagai kecepatan sudutnya.

.

Komponen vektor posisi pada sumbu x dengan demikian adalah (Ra+Rb.Sin(A.Sin φ (t))).ex

Komponen vektor posisi pada sumbu y dengan demikian adalah (Rb.Cos(A.Sin φ (t))).ey.

Vektor Ra dapat didefinisikan sebagai v.t, dengan v adalah kecepatan mobil.

Rb adalah panjang kaki depan kucing atau l.

.

Kita dapat menuliskannya sebagai berikut:

.

R = (v.t+l.Sin(A.Sin ω.t )).ex + (l.Cos(A.Sin ω.t)).ey.

Dengan demikian, harga v, l, A, dan ω sudah ditentukan.

.

Untuk mengetahui bagaimana bentuk lintasannya kita akan menggunakan software Z-Grapher. Pertama-tama kita akan masukkan harga v=1 m/s, l=1 m, A=0,5 m, dan ω = 1 1/s. Hasilnya adalah sebagai berikut:

.

 
 

.

Kita akan mencoba nilai-nilai lainnya, misalkan v=0,25 m/s, l=1 m A=0,5 m, dan ω = 1 1/s. Ternyata bentuk lintasannya menjadi sebagai berikut:

.

 
 

.

Jadi jika gerakan mobil lebih lambat, maka bentuk lintasan juga akan berubah.

.

Kita boleh melakukan eksperimen dengan mengganti nilai-nilai v, l, A, dan ω. Sebagai contoh:

.

v=2 m/s, l=2 m A=0,8 m, dan ω = 1 1/s.

.

 
 

 

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING DALAM SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING DALAM SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

.

Ivan Taniputera.

12 Juli 2016

.

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah silinder sedang menggelinding pada bagian dalam silinder lainnya. Kita akan menentukan bagaimana lintasannya dengan bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

.

Vektor posisi R(t) = ((R-r).Sin(ω1.t)+r.Sin(ω2.t)).ex+((R-r).Cos(ω1.t)-r.Cos(ω2.t)).ey.

Karena terdapat hubungan Kinematis: ω2=ω1.(R-r)/r, kita dapat menuliskannya kembali sebagai berikut.

Komponen sumbu x = (R-r).Sin(ω1.t)+r.Sin((ω1.(R-r)/r).t)).

Komponen sumbu y = (R-r).Cos(ω1.t)-r.Cos((ω1.(R-r)/r).t)).

Kita misalkan jari-jari roda di bagian tengah (R) adalah 2 meter. Jari-jari roda yang menggelinding (r) adalah 1 meter. Kecepatan sudutnya adalah 1 1/s.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:


x(t) = Sin(t)+Sin(t).

y(t) = Cos(t)-Cos(t).

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Lintasannya membentuk garis lurus. Inilah yang disebut lingkaran Cardano.

Kini kita akan mencoba R1=3, sedangkan R2=1

Bentuk di atas disebut episikloid. Sebagai tambahan, bentuknya ditentukan oleh perbandingan R dan r.

R=4, r=1

R=7, r=3

 

 

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDAR YANG MENGGELINDING PADA SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK DI TEPI SILINDER YANG MENGGELINDING PADA SILINDER LAINNYA DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

.

Ivan Taniputera.

10 Juli 2016.

.

.Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah silindir sedang menggelinding pada bagian luar silinder lainnya. Kita akan menentukan bagaimana lintasannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

.

 

Vektor posisi R(t) = ((R1+R2).Sin(ω1.t)+R2.Cos(ω2.t)).ex+((R1+R2).Cos(ω1.t)-R2.Sin(ω2.t)).ey

Karena terdapat hubungan Kinematis: ω2=ω1.(R1+R2)/R2,

Kita dapat menuliskannya kembali sebagai berikut.

Komponen sumbu x = (R1+R2).Sin(ω1.t)+R2.Cos((ω1.(R1+R2)/R2).t)).

Komponen sumbu y = (R1+R2).Cos(ω1.t)-R2.Sin((ω1.(R1+R2)/R2).t))

Kita misalkan jari-jari roda di bagian tengah (R1) adalah 1 meter. Jari-jari roda yang menggelinding (R2) adalah 1 meter. Kecepatan sudutnya adalah 1 1/s. Jadi R1 dalam hal ini sama dengan R2.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

x(t) = 2Sin(t)+Cos(2t).

y(t) = 2Cos(t)-Sin(2t).

Hasilnya adalah sebagai berikut:

.

Bentuk di atas disebut episikloid. Sebagai tambahan, bentuknya ditentukan oleh perbandingan R1 dan R2.

Kita akan mengadakan percobaan dengan nilai R1 dan R2 yang berbeda-beda.

Jika R1:R2=2:1 maka bentuknya adalah:

.

Jika R1:R2 = 3:1, maka bentuknya adalah:

.


R1:R2=3:2

.

R1:R2=1:3

.

R1:R2=6:1

.

R1:R2=5:3.

.

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI LUAR TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI LUAR TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER.

.

Ivan Taniputera.

.

8 Juli 2016.

.

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di luar tepi sebuah roda sedang menggelinding. Kita akan menentukan bagaimana jejak gerakannya dengan bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

.

 
 
 

Vektor posisi R(t) = ( ω r1.t + r2 cos ( ω t)).ex + (-r2 sin ( ω t)).ey.

.

Dengan kata lain komponen sumbu x bagi vektor posisi R(t) yang mewakili letak titik P di sembarang waktu adalah ω r1.t + r2 cos ( ω t); sedangkan komponen sumbu y-nya adalah -r2 sin ( ω t).

.

r1 adalah jari-jari roda yang menggelinding.

r2 adalah jari-jari titik P dihitung dari pusat roda

r2 dalam hal ini lebih besar dari r1

ω adalah kecepatan sudut.

.

Kita misalkan jari-jari roda (r1) yang menggelinding tersebut adalah 1 meter; sedangkan jari-jari titik P (r2) adalah 2 meter. Sementara itu, kecepatan sudutnya adalah 1 1/s.

.

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher:

.

x(t) = t+2Cos(t).

y(t) = -2Sin(t).

.

Hasilnya adalah sebagai berikut:

.

 
 

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN JEJAK LINTASAN TITIK YANG TERLETAK DI TEPI RODA MENGGELINDING DENGAN BANTUAN SOFTWARE Z-GRAPHER

.

Ivan Taniputera.

8 Juli 2016.

.

Sebuah titik yang kita sebut P terletak di tepi sebuah roda sedang menggelinding. Kita akan menentukan bagaimana jejak gerakannya dengan bantuan software Z-Grapher.

Pertama-tama yang kita perlukan adalah merumuskan persamaan geraknya, sebagaimana yang tampak pada gambar di bawah ini.

.

Vektor Ra(t) = ( ω R.t + R cos ( ω t)).ex + (-R sin ( ω t)).ey

Dengan kata lain komponen sumbu x bagi vektor Ra(t) yang mewakili letak titik P di sembarang waktu adalah ω R.t + R cos ( ω t); sedangkan komponen sumbu y-nya adalah -R sin ( ω t).

R adalah jari-jari roda yang menggelinding.

ω adalah kecepatan sudut.

Kita misalkan jari-jari roda yang menggelinding tersebut adalah 1 meter; sedangkan kecepatan sudutnya adalah 1 1/s

Karenanya kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut guna diinputkan ke software Z-Grapher.

x(t) = t+Cos(t).

y(t) = -Sin(t)

Hasilnya adalah sebagai berikut:

.

Jejak seperti ini disebut sikloid (Inggris: cycloid).

MENENTUKAN RUMUS DAN MEMETAKAN JALUR GERAKAN SEBUAH PARTIKEL DENGAN SOFTWARE Z-GRAPHER

MENENTUKAN RUMUS DAN MEMETAKAN JALUR GERAKAN SEBUAH PARTIKEL DENGAN SOFTWARE Z-GRAPHER

 

Ivan Taniputera

26 April 2014

 

Sebuah partikel bergerak dengan v = 6 m/s, membentuk sudut 30 derajat dengan sumbu x ke arah kiri. Partikel tersebut mendapatkan percepatan a sebesar 5 m/s2 membentuk sudut 60 derajat dengan sumbu x ke arah kanan. Percepatan gravitasi sebesar 10 m/s2 ke arah bawah. Untuk jelasnya lihat gambar 1.

 

 

 

Kita lalu memecah vektor-vektornya berdasarkan sumbu koordinat seperti gambar di atas.

 

Kemudian kita dapat menyusun persamaan geraknya sebagai berikut.

 

Percepatan

 

x” (t) = ax = 2.5 m/s2

y” (t) = ay – g

        = 4.3-10 = -5.7 m/s2

 

Kecepatan (Integral percepatan)

 

x'(t) = 2.5.t – Vx

      = 2.5 t – 5.2 [m/s]

y'(t) = -5.7t + Vy

      = -5.7t +3 [m/s]

 

Letak (Integral kecepatan)

 

x(t) = 1.25t^2-5.2t [m]

y(t) = -2.85t^2+3t [m]

 

Persamaan gerak ini yang kemudian dimasukkan ke dalam software. Hasilnya adalah sebagai berikut.

 

 

Dengan demikian, software Z-Grapher juga dapat membantu pemecahan soal-soal fisika.

 

MENYELESAIKAN SOAL KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

MENYELESAIKAN SOAL KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

 

Ivan Taniputera

20 April 2014

 

Pada hari ini saya tiba-tiba berniat mengulangi kembali pelajaran mekanika teknik yang diterima semasa kuliah dahulu. Berikut ini adalah soal lama yang hendak saya kerjakan ulang.

 

 

 

Dalam mengerjakan soal ini, kita perlu melakukan “freischneiden” atau dalam bahasa Inggris disebut “free body system” guna menentukan gaya-gaya yang bekerja pada sistim tersebut.

 

 

Selanjutnya tentukan sistim koordinatnya:

  • Sumbu x ke kanan
  • Sumbu y ke atas
  • Momen searah jaruh jam adalah positif.

 

Kemudian terapkan tiga syarat kesetimbangan:

  • Σ Fx = 0
  • Σ Fy = 0
  • Σ M(s) = 0

Σ Fx = 0

 

Bx – P = 0,

 

Sehingga Bx = p Newton

 

 

Σ Fy = 0

 

Ay+By-Q = 0

 

Dengan Q = q.m Newton (N)

 

Jadi: Ay+By-qm = 0 [persamaan 1]

 

Pusat momen kita pilih titik B.

 

 

 

Σ Mb = 0

 

-P.l + Ay.m – qm.1/2 m = 0

 

Jadi:

 

Ay.m = P.l + 1/2q.m^2

 

Ay = (2P.l + q.m^2)/2m Newton

 

Berdasarkan persamaan 1, maka

 

By = qm-Ay

 

By = qm – (2P.l + q.m^2)/2m

 

By = (2q.m^2 – 2P.l + q.m^2)/2m

 

By = (3q.m^2 – 2P.l)/2m Newton

 

Dengan demikian sudah terjawab semuanya.

 

A = p Newton.

Bx = (2P.l + q.m^2)/2m Newton

By = (3q.m^2 – 2P.l)/2m Newton

 

Image