MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL DIAKHIRI PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL.

.

Ivan Taniputera.

17 Mei 2017.

.

Saya menemukan soal sebagai berikut:

.

“ Buktikan bahwa (81^100).(121^100)-1 hasilnya diakhiri paling tidak dengan dua angka 0.”

.

Saya akan memecahkan soal tersebut sebagai berikut.

.

(81^100).(121^100)-1 = ((9^2)^100).((11^2)^100)-1

= 99^200-1

= 99^200-1^200 [Satu dipangkatkan berapa saja tetap 1].

=((99)^2)^100 – ((1)^2)^100)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^a – q^a = (p-q)(p^(a-1) + (p^(a-2).q) + ………)

.

Jadi ((99^2)^100 – ((1^2)^100) = (99^2-1^2).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + …………)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^2-q^2 = (p+q).(p-q)

.

= (99 + 1).(99 – 1).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + …………)

= (100).(98).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + …………)

.

Perhatikan bahwa terdapat 100 sebagai faktor. Perkalian dengan 100 paling tidak akan memberikan hasil yang diakhiri dengan dua angka nol.

.

Sebagai tambahan, kita juga dapat menyimpulkan bahwa hasilnya pasti dapat dibagi atau merupakan kelipatan 98.

BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

.

Ivan Taniputera.

15 Mei 2017.

.

 
 
 

Pada kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0 di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x………x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.

.

Pertama-tama kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.

.

Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.

.

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.

.

Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.

Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:

,

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2×5).

10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.

,

Total perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol. Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya diikuti oleh dua angka nol.

.

Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.

.

30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x………x 28 x 29 x 30.

.

Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:

.

5, 10, 15, 20, 25, dan 30.

.

5 = 1 x 5

10 = 2 x 5

15 = 3 x 5

20 = 4 x 5

25 = 5^2

30 = 5 x 6

.

Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x………29

Jadi secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah 265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti oleh tujuh angka 0.

.

Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.

.

Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:

.

(5^n).x.

Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)

.

Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.

Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.

.

Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.

kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.

.

5^2 = 25

5^3 = 125

5^4 = 625

5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).

.

Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4.

.

Untuk nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 = 1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin. Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.

.

Kini kita akan menghitung untuk n = 3.

.

Untuk n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.

.

Kita akan menghitung untuk n = 2.

.

Untuk n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.

.

Kita akan menghitung untuk n = 1

.

Untuk n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1

Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.

.

  • Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
  • Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
  • Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
  • Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).

.

Kini tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.

.

Karenanya kita boleh menuliskan:

.

2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x……x 2017.

.

Dengan demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka 0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual, kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!

PEMECAHAN SOAL SULIT DARI SINGAPURA

PEMECAHAN SOAL SULIT DARI SINGAPURA

Ivan Taniputera

15 April 2015

 

Berikut ini adalah soal matematika yang konon menghebohkan karena sulitnya. Soal tersebut konon pertama kali diunggah oleh  Kenneth Kong dari Singapura. Katanya ini merupakan soal SASMO

 
 

Adapun bunyi soal itu jika diterjemahkan adalah sebagai berikut:

 

“Albert dan Bernard baru saja berkawan dengan Cheryl. dan mereka ingin mengetahui kapan tanggal ulang tahunnya. Cheryl memberikan pada mereka sepuluh kemungkinan tanggal ulang tahunnya:

 

15 Mei   16 Mei     19 Mei

17 Juni   18 Juni

14 Juli    16 Juli

14 Agustus   15 Agustus 17 Agustus

 

Cheryl memberitahu Albert dan Bernard masing-masing secara terpisah, bulan dan tanggal ulang tahunnya.

 
 

Albert: saya tidak tahu kapan hari ulang tahun Cheryl, tetapi saya yakin Bernard tidak mengetahuinya juga.

Bernard: pada mulanya saya tidak mengetahui, kapan hari ulang tahun Cheryl, tetapi sekarang saya mengetahuinya.

Albert: maka saya juga mengetahui hari ulang tahun Cheryl.

 

Kapankah tanggal ulang tahun Cheryl

 

Saya mencoba menjawab soal di atas. 

 

Kuncinya adalah membuang tanggal-tanggal yang bersifat ambigu.

 

Pertama-tama bulan dan tanggal tersebut masing-masing akan saya buat menjadi seperti diagram di bawah ini.

 
 

Kemudian berdasarkan dialog di atas, yakni yang dikatakan oleh Albert dan Bernard, maka dapat disimpulkan bahwa data yang mereka punyai sudah cukup untuk mengetahui tanggal kelahiran Cheryl, yakni dengan melakukan langkah penyaringan logis terhadap 10 kemungkinan tanggal di atas.

 

Dengan kata lain, data bulan dan tanggal yang diberikan pada Albert dan Bernard sudah memadai digunakan menentukan tanggal kelahiran Cheryl yang pasti berdasarkan 10 kemungkinan pilihan. Kalau tidak, bagaimana mungkin kedua-duanya dapat mengetahui tanggal lahir Cheryl tersebut?

 

Berikut ini adalah langkah-langkah penyaringannya.

 

Pertama-tama, kita akan menghapus tanggal 18 dan 19, Alasannya:

 

Jika Bernard diberitahu tanggal 18, maka ia akan langsung mengetahui bahwa ulang tahun Cheryl adalah 18 Juni. Namun jika Albert diberitahu bulannya adalah Juni, maka ia akan bingung menentukan antara 17 dan 18 Juni. Dengan demikian tanggal 18 tidak mungkin. Karena kedua-duanya harus mendapatkan kepastian. 

 

Tanggal 19 juga dihapus dengan alasan yang sama. Bernard jika diberitahu tanggal 19, dia akan langsung tahu Cheryl berulang tahun 19 Mei. Sebaliknya jika Albert diberitahu bulan Mei, dia akan bingung menentukan tiga pilihan (15, 16, dan 19). Ini juga bertentangan dengan kesimpulan di atas (bahwa kedua-duanya harus mendapatkan kepastian).

 

Maka diagramnya sekarang menjadi seperti ini.

.

 
 

Kita melakukan penyaringan lebih lanjut.

 

Bulan Mei juga tidak mungkin. Karena jika Albert diberitahu bulannya adalah Mei, maka ada dua kemungkinan, 15 dan 16 Mei.

 

Tanggal 14 juga tidak mungkin, karena jika Bernard diberitahu tanggalnya adalah 14, maka ada dua kemungkinan: 14 Juli dan 14 Agustus.

Tanggal 15 juga tidak mungkin, karena jika Bernard diberitahu tanggalnya adalah 15, maka ada dua kemungkinan : 15 Mei dan 15 Agustus.

 

Dengan demikian yang tersisa adalah sebagai berikut:

.

 
 

Kita melakukan penyaringan lanjutan.

 

Tanggal 17 adalah tidak mungkin karena jika Bernard diberitahu tanggal 17, maka masih ada dua kemungkinan, yakni 17 Juli dan 17 Agustus. Tanggal 17 bisa kita hapus. Jika tanggal 17 kita hapus, maka bulan Juni dan Agustus juga turut terhapus, sehingga yang tersisa adalah tanggal 16 Juli.

.

 
 

 

Dengan demikian, kemungkinan hasilnya adalah tanggal: 

 

16 Juli

 

PEMIKIRAN ALTERNATIF.

 

Namun kita juga dapat menjawabnya dengan alur logika semacam ini:

 

Alternatif 1. Bulan Juni adalah tidak mungkin, karena kemungkinan yang tersisa dari bulan Juni adalah tanggal 17 Juni. Apabila Bernard diberitahu tanggal 17, maka ia akan bingung menentukan antara tanggal 17 Juni dan 17 Agustus. Bulan Juni dapat kita hapus, sehingga yang tersisa adalah 16 Juli dan 17 Agustus. Tetapi apabila Juni sudah dihapus, maka tidak terjadi kebingungan lagi dengan tanggal 17. Tanggal 17 hanya akan mengacu pada 17 Agustus. Dengan demikian, soal ini akan mempunyai dua jawaban: 16 Juli dan 17 Agustus.

 
 

Jika Cheryl berulang tahun tanggal 16 Juli, maka Albert yang diberitahu bulannya Juli akan langsung mengetahui bahwa tanggalnya 16. Bernard yang diberitahu tanggalnya 16, akan mengetahui bahwa bulannya adalah Juli. Sementara itu, apabila Cheryl berulang tahun tanggal 17 Agustus, jika Albert diberitahu bulannya adalah Agustus, maka ia akan mengetahui bahwa tanggalnya adalah 17. Sementara itu, Bernard yang diberitahu bahwa tanggalnya 17, akan mengetahui bahwa bulannya adalah Agustus. Tidak ada lagi yang bersifat ambigu di sini.

 

Sebagai catatan, mungkin akan ada yang bertanya, mengapa kita tidak menghapuskan tanggal 17? Jika bulan Juni sudah dihapus, maka tidak ada kebingungan lagi dengan tanggal 17, karena yang tersisa adalah perkawanan satu-satu. Kita tidak perlu lagi menghapus tanggal 17 karenanya.

 

Alternatif 2. Bulan Agustus adalah tidak mungkin, karena kemungkinan yang tersisa dari bulan Agustus adalah 17 Agustus. Apabila Bernard diberitahu tanggal 17, maka ia akan bingung menentukan antara tanggal 17 Juni dan 17 Agustus. Bulan Agustus dapat kita hapus, sehingga yang tersisa adalah 17 Juni. Tetapi apabila Agustus sudah dihapus, maka tidak terjadi kebingungan lagi dengan tanggal 17. Tanggal 17 hanya akan mengacu pada 17 Juni. Dengan demikian, soal ini mempunyai dua jawaban: 16 Juli dan 17 Juni.

 
 

Jika Cheryl berulang tahun tanggal 16 Juli, Albert yang diberitahu bulannya Juli akan mengetahui bahwa tanggalnya 16. Bernard yang diberitahu tanggalnya 16, akan mengetahui bahwa bulannya adalah Juli. Sementara itu, jika Cheryl berulang tahun tanggal 17 Juni, apabila Albert diberitahu bulannya adalah Juni, ia akan mengetahui bahwa tanggalnya adalah 17. Sementara itu, Bernard yang diberitahu bahwa tanggalnya 17, akan  mengetahui bahwa bulannya adalah Juni. Tidak ada lagi yang bersifat ambigu di sini.

 

Sebagai catatan, mungkin akan ada yang bertanya, mengapa kita tidak menghapuskan tanggal 17? Jika bulan Juni sudah dihapus, maka tidak ada kebingungan lagi dengan tanggal 17, karena yang tersisa adalah perkawanan satu-satu. Kita tidak perlu  lagi menghapus tanggal 17 karenanya.

 

Kedua alternatif di atas secara alur logika, seharusnya juga sahih, walaupun sesungguhnya tidak mungkin seseorang mempunyai dua tanggal kelahiran.

 

Dengan demikian, soal ini mempunyai 3 alternatif jawaban:

 

ALTERNATIF 1: 16 Juli

ALTERNATIF 2: 16 Juli dan 17 Agustus

ALTERNATIF 3: 16 Juli dan 17 Juni

 

Tergantung bagaimana alur logika kita. 

 

Semoga bermanfaat.

Bimbingan belajar untuk Kota Semarang.

ASAH OTAK MATEMATIKA: BERAPAKAH PANJANG JARI-JARI LINGKARAN KECIL

ASAH OTAK MATEMATIKA: BERAPAKAH PANJANG JARI-JARI LINGKARAN KECIL?

Ivan Taniputera

24 Desember 2014

Soallingkaran

Jika panjang jari-jari lingkaran besar (Ra) = 6 cm, berapakah panjang jari-jari lingkaran yang kecil (Rb)?

Berikut ini adalah jawabannya:

Soallingkaranjawaban

Pada segitiga siku-siku yang kedua sudutnya 45 derajat,  jika sisi-sisi tegaknya adalah a, maka sisi miringnya adalah aV2 (baca: a akar 2).

Jadi panjang AB seperti pada gambar adalah RbV2 (baca: Rb akar 2).

Dengan demikian, panjang Ra adalah Rb + RbV2.

Rb = Ra /(1+V2)

Jika Ra = 6 cm, maka Rb = 2,49 cm.

Untuk bimbingan belajar SD, SMP, SMU, dan Universitas di kota Semarang, silakan bergabung dengan:

https://www.facebook.com/groups/539848279458850/

 

Brosur3