PENYELESAIAN BEBERAPA SOAL MATEMATIKA (TOPIK: KOMPOSISI FUNGSI DAN TRIGONOMETRI)

PENYELESAIAN BEBERAPA SOAL MATEMATIKA (TOPIK: KOMPOSISI FUNGSI DAN TRIGONOMETRI)

.

Ivan Taniputera.

18 Mei 2017.

.

1. Jika (f o g) = x^2 + 4x – 9 dan f(x) = x+3. Tentukan g(x).

 

Jawab:

.

Ini adalah soal komposisi fungsi.

Karena f o g merupakan fungsi kuadrat dan f(x) merupakan fungsi linear; maka g(x) sudah pasti merupakan fungsi kuadrat.

Kita misalkan g(x) = ax^2+bx+c

Masukkan g(x) ke f(x).

(f o g) (x) = (ax^2+bx+c) + 3

= ax^2 + bx + (c+3)

.

Jadi a = 1; b = 4

.

c+3 = -9; sehingga c = -12.

.

Oleh karenanya g(x) = x^2 + 4x – 12.

.

2. Diketahui f(x) = 1/2 x – 1 dan g(x) = 2x + 4. Tentukan (g o f)^-1(6).

.

Jawab:

.

Tentukan (g o f) terlebih dahulu:

(g o f) = 2 (1/2x – 1) + 4

= x – 2 + 4

= x + 2

.

Kini tentukan fungsi inversnya.

.

y = x + 2

x = y – 2

.

Jadi (g o f)^-1 (x) = x – 2.

.

(g o f)^-1 (6) = 4

.

3. Apabila n.tg 45⁰ .cos 60⁰ = sin 60⁰.cotg 60⁰. Hitunglah n.

.

Jawab:

.

Kita hitung dahulu nilai masing-masing.

.

n.1.1/2 = 1/2V3.1/3V3

.

CATATAN: V = tanda akar.

.

1/2.n = 1/2

 

Jadi n = 1

.

4. Tangen x = 1/V7. Tentukan nilai ((cosec^2(x)-sec^2(x))/(cosec^(x)+sec^2(x)).

.

Jawab:

 

Kita hitung dulu nilai secan (x) dan cosecan (x). 

 

Secan = sisi miring/sisi pada sudut

Cosecan = sisi miring / sisi di hadapan sudut.

.

Buat dulu gambar segitiganya. Ingat bahwa Tangen adalah sisi di hadapan sudut dibagi sisi pada sudut itu.

.

 

.

Secan (x) = V8/V7

Cosecan (x) = V8/1 atau V8.

.

Kemudian tinggal kita hitung saja.

.

= ((V8)^2-(V8/V7)^2)/((V8)^2+(V8/V7)^2)

= (8 – 8/7)(8+8/7)

= (48/7)(64/7)

= 3072/49

Advertisements

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL DIAKHIRI PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL.

.

Ivan Taniputera.

17 Mei 2017.

.

Saya menemukan soal sebagai berikut:

.

“ Buktikan bahwa (81^100).(121^100)-1 hasilnya diakhiri paling tidak dengan dua angka 0.”

.

Saya akan memecahkan soal tersebut sebagai berikut.

.

(81^100).(121^100)-1 = ((9^2)^100).((11^2)^100)-1

= 99^200-1

= 99^200-1^200 [Satu dipangkatkan berapa saja tetap 1].

=((99)^2)^100 – ((1)^2)^100)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^a – q^a = (p-q)(p^(a-1) + (p^(a-2).q) + ………)

.

Jadi ((99^2)^100 – ((1^2)^100) = (99^2-1^2).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + …………)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^2-q^2 = (p+q).(p-q)

.

= (99 + 1).(99 – 1).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + …………)

= (100).(98).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + …………)

.

Perhatikan bahwa terdapat 100 sebagai faktor. Perkalian dengan 100 paling tidak akan memberikan hasil yang diakhiri dengan dua angka nol.

.

Sebagai tambahan, kita juga dapat menyimpulkan bahwa hasilnya pasti dapat dibagi atau merupakan kelipatan 98.

BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?

.

Ivan Taniputera.

15 Mei 2017.

.

 
 
 

Pada kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0 di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x………x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.

.

Pertama-tama kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.

.

Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.

.

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.

.

Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.

Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:

,

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2×5).

10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.

,

Total perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol. Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya diikuti oleh dua angka nol.

.

Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.

.

30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x………x 28 x 29 x 30.

.

Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:

.

5, 10, 15, 20, 25, dan 30.

.

5 = 1 x 5

10 = 2 x 5

15 = 3 x 5

20 = 4 x 5

25 = 5^2

30 = 5 x 6

.

Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x………29

Jadi secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah 265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti oleh tujuh angka 0.

.

Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.

.

Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:

.

(5^n).x.

Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)

.

Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.

Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.

.

Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.

kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.

.

5^2 = 25

5^3 = 125

5^4 = 625

5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).

.

Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4.

.

Untuk nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 = 1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin. Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.

.

Kini kita akan menghitung untuk n = 3.

.

Untuk n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.

.

Kita akan menghitung untuk n = 2.

.

Untuk n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.

.

Kita akan menghitung untuk n = 1

.

Untuk n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1

Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.

.

  • Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
  • Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
  • Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
  • Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).

.

Kini tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.

.

Karenanya kita boleh menuliskan:

.

2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x……x 2017.

.

Dengan demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka 0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual, kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!

PENYELESAIAN SOAL-SOAL LOGIKA

PENYELESAIAN SOAL-SOAL LOGIKA.

.
Ivan Taniputera.
21 Januari 2017
.
1) Jika nilai semua siswa pulang maka tidak ada pelajaran. Tentukan ingkarannya.
.
Jawaban:
.
Kita akan menggunakan rumus:
.
~(p→q)≡ (p ᴧ ~q)
.
Jadi ingkarannya adalah: semua siswa pulang dan ada pelajaran.
.
2) (∀ a)(a^2+1<2), a E R. Tentukan nilai kebenarannya.
.
Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil. 
.
Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:
.
a^2+1 < 2
a^2-1 < 0
(a+1)(a-1) < 0
.
Untuk a< -1 dan a > 1 nilainya akan selalu lebih besar 0 (positif). Sedangkan untuk -1 < a < 1 nilainya akan selalu lebih kecil 0 (negatif). Tidak semua nilainya lebih kecil 0. Jadi tidak semua nilai a kuadrat ditambah 1 akan lebih kecil dibandingkan 2.
 
 
.
 

MENENTUKAN NILAI PI BERDASARKAN TEOREMA LIMIT

MENENTUKAN NILAI PI PERDASARKAN TEOREMA LIMIT.

.

Ivan Taniputera.

8 Januari 2017

.

.

Misalkan kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.

.

Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).

Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).

.

Keliling segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).

Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).

= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).

.

Apabila nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran. Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI; maka kita dapat menyimpulkan.

limit n–&gt;tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.

.

Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.

.

 
 

.

Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut. 

,

Unuk n = 4, nilainya adalah 4.

n = 5, nilainya adalah 3.63271264

n = 10, nilainya adalah 3.249196962

n = 20, nilainya adalah 3.167688806

n = 50, nilainya adalah 3.145733363

n = 100, nilainya adalah 3.142626604

n = 200, nilainya adalah 3.141851065

n = 500, nilainya adalah 3.141633996

n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655

n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654

.

Jadi jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.

.

Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

.

 

.

Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.

JAWABAN SOAL-SOAL LOGARITMA DAN PECAHAN

JAWABAN SOAL-SOAL LOGARITMA DAN PECAHAN.

.

Ivan Taniputera.

5 September 2016.

.

 
 

.

Jawaban soal nomor 1.

.

 

Jika a=0,11111…. dan b=0,33333….., tentukan nilai a log b. Catatan a adalah bilangan basis logaritma.

Kita harus mengubah bentuk pecahan desimal berulang menjadi pecahan biasa.

a=0,11111…..

10a=1,11111….

10a-a = 1,11111…..-0,11111….

9a = 1

a = 1/9.

.

b=0,33333…..

10b=3,33333…..

10b-b = 3,33333…..-0,33333……

9b = 3

b = 1/3

.

1/9 = 3^-2

1/3 = 3^-1

.

Jadi:

a log b = 3^-2 log 3^-1

= 1/2.

.

Jawaban soal nomor 2.

.

Jika a-b = akar (12-2.akar 27), tentukan a log b. Catatan a adalah bilangan basis logaritma.

.

(a-b)^2 = 12-2.akar 27

a^2+b^2-2ab = 12-2.akar 27.

.

Jadi ab = akar 27

a^2+b^2 = 12.

.

Oleh karenanya perlu dicari nilai a dan b yang memenuhi persamaan di atas.

Didapatkan a = akar 9 dan b = akar 3.

.

a = 3 dan b = akar 3 ata 3^(1/2).

.

Jadi a log b = 3 log 3^(1/2).

= 1/2.

.

Jawaban soal nomor 3.

.

Tentukan nilai (3 log^2 (36) – 3 log^2 (4))/3 log (akar 12)). Catatan 3 adalah bilangan basis logaritma.

.

Bentuk 3 log^2 (36) – 3 log^2 (4) dapat dianggap sebagai a^2-b^2.

a^2-b^2 dapat diuraikan menjadi (a+b)(a-b).

.

Jadi 3 log^2 (36) – 3 log^2 (4) dapat diuraikan menjadi (3 log (36)+3 log (4))(3 log (36)-3 log (4)).

.

= (3 log (144))(3 log (9))/3 log (12)^1/2

= (3 log (12)^2)(3 log (3)^2)/ (1/2. (3 log (12))

= (2. (3 log (12)))(2)/(1/2.(3 log (12))

= 2.2.2

= 8

.

Jawaban soal nomor 4.

.

Tentukan nilai x yang memenuhi akar (2x+1) = 1/(4^(x-1)).

.

Kita dapat mengubah persamaan di atas sebagai berikut.

.

(2^(x+1))^1/2 = 2^(-2(x-1))

.

Jadi:

1/2 (x+1) = -2x+2

1/2 x + 1/2 = -2x + 2

1/2 x + 2x = 2-(1/2)

5/2 x = 3/2

x = 3/5.

.

Jawaban soal nomor 5.

.

Sederhanakan log (akar((p-1)/(p+1))+1/2.log (p^2-1).

.

= log ((p-1)/(p+1))^1/2+1/2.log(p^2-1)

=1/2.log ((p-1)/(p+1)) + 1/2.log ((p+1)(p-1))

=1/2.(log ((p-1)/(p+1)).((p+1)(p-1))

p+1 dapat dicoret, sehingga

=1/2.log ((p-1)(p-1))

=1/2.log (p-1)^2

= log (p-1).

MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

.

Ivan Taniputera.

7 Agustus 2016.

.

Sederhanakan persamaan dengan pangkat pecahan berikut ini:

.

(x^3/2/+x^1/2)(x^1/3-x^-1/3)/(x^1/2+x^-1/2)(x-x^1/3)

.

 

 
 

Pertama-tama akan dipaparkan rumus-rumus yang dipergunakan dalam menyederhanakan persamaan pangkat pecahan di atas.

.

X^a.X^b = X^(a+b)

.

Kita akan menguraikan sebagai berikut:

= (x.x^1/2+x^1/2)(x^1/3-x^1/3.x^-2/3) / (x^1/2+x^1/2.x^-1).(x-x.x^-2/3)

.

Agar tidak bingung, saya akan menjelaskan terlebih dahulu sebagai berikut:

x^3/2 dapat kita uraikan menjadi x.x^1/2; yakni dengan mengacu pada rumus X^a.X^b = X^(a+b).

x.x^1/2; maka a = 1 dan b = 1/2, jadi x^(a+b) = x^3/2.

x^-1/3 dapat kita uraikan menjadi x^1/3.x^-2/3. Ingat bahwa 1/3+(-2/3) = -1/3.

.

Dengan demikian, asal penguraian di atas sudah dijelaskan. Kita dapat melanjutkan dengan langkah berikutnya.

= (x^1/2(x+1))(x^1/3(1-x^-2/3)) / (x^1/2(1+x^-1))(x(1-x^-2/3))

.

Apa yang baru saja kita lakukan adalah adalah mengeluarkan x^1/2, x^1/3, dan x.

.

Faktor-faktor yang sama dapat kita coret, sehingga didapatkan:

.

=(x+1)(x^1/3)/(1+x^-1)x.

.

Kita masih dapat menyederhanakannya menjadi:

.

=x^1/3

.

Perhatikan bahwa 1+x^-1 dapat diubah menjadi (x+1)/x. Lalu x pada bagian penyebut dapat dicoret. (x+1) pada bagian pembilang dan penyebut juga dapat saling dicoret.

.

Untuk menguji apakah jawaban di atas benar atau salah kita akan meminta bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama masukkan Y(x) = ((x^(3/2)+x^(1/2))(x^(1/3)-x^(-1/3)))/((x^(1/2)+x^(-1/2))(x-x^(1/3)))

Kedua masukkan Y(x) = x^1/3.

.

Berikut ini adalah hasilnya.

.

 
 

.

Ternyata didapatkan hasil yang sama.

.

Kesimpulan: Jawaban sudah benar.

.